Introdução ao Cálculo I

O curso de Cálculo I é fundamental para a formação em Engenharia, abordando os principais conceitos do cálculo diferencial e integral de funções de uma variável real. O objetivo é desenvolver o raciocínio matemático, compreender modelos matemáticos e suas aplicações, e introduzir noções de infinitésimos e infinitos.

Conteúdo Programático

1. Importância do Cálculo na Engenharia

O cálculo é essencial para a modelagem, análise e resolução de problemas em diversas áreas da engenharia, permitindo a compreensão de fenômenos físicos, otimização de processos e fundamentação teórica para disciplinas avançadas.

2. Funções de uma Variável e seus Gráficos

• Definição de função: Uma função é uma relação que associa a cada elemento de um conjunto de entrada exatamente um elemento de um conjunto de saída.

• Gráficos: Representação visual do comportamento de funções, importante para análise qualitativa.

• Operações com funções: Soma, subtração, multiplicação, divisão e composição de funções.

3. Limites

• Definição de limite: O valor que uma função se aproxima quando a variável independente se aproxima de um determinado ponto.

• Cálculo de limites: Utilização de propriedades algébricas e técnicas como fatoração, racionalização e substituição.

• Limites de sequências, somas e séries numéricas: Introdução ao estudo do comportamento de sequências e séries.

4. Continuidade

• Conceito e definição: Uma função é contínua em um ponto se o limite existe e é igual ao valor da função nesse ponto.

• Teoremas básicos: Teorema do valor intermediário, teorema de Weierstrass.

5. Derivada

• Definição de derivada: Medida da taxa de variação instantânea de uma função.

• Interpretação geométrica: Inclinação da reta tangente ao gráfico da função.

• Exemplo: Se , então .

6. Regras de Derivação

• Regras básicas: Derivada da soma, produto, quociente e função composta (regra da cadeia).

• Derivadas de funções inversas e implícitas.

7. Aplicações do Conceito de Derivada

• Taxa de variação: Aplicações em problemas de crescimento, decaimento e movimento.

• Cálculo de máximos e mínimos: Identificação de pontos críticos para otimização.

• Teorema de Taylor: Aproximação de funções por polinômios.

8. Integral

• Definição de integral segundo Riemann: Soma dos produtos de valores da função por incrementos infinitesimais.

• Teorema Fundamental do Cálculo: Relação entre derivada e integral.

• Métodos de integração: Substituição, partes, frações parciais, entre outros.

• Aplicações geométricas: Cálculo de áreas, volumes de sólidos de revolução.

• Integrais impróprias: Integração em intervalos infinitos ou funções não limitadas.

9. Técnicas de Integração e Aplicações

• Primitivas: Funções cuja derivada é a função original.

• Aplicações de integrais definidas: Cálculo de áreas, volumes, trabalho, entre outros.

10. Revisão e Exercícios

• Revisão dos conceitos estudados e resolução de exercícios para fixação.

Bibliografia Básica

• GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo: volume 1. LTC, 2013.

• STEWART, J. Cálculo: volume 1. Cengage Learning, 2013.

• THOMAS, G. B. Cálculo: volume 1. Pearson, 2013.

Bibliografia Complementar

• ÁVILA, G. S. S.; ARAÚJO, L. C. L. Cálculo: ilustrado, prático e descomplicado. LTC, 2012.

• FRIEDLI, S. Cálculo 1. UFMG, 2014.

• LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica: volume 1. Harbra, 1994.

• MARQUES, G.C. Fundamentos de matemática I. USP / UNIVESP / EDUSP, 2014.

• SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica: volume 1. Makron Books, 2010.

Critérios de Avaliação

• Avaliação formativa: Acompanhamento contínuo do desempenho dos alunos por meio de atividades e exercícios semanais.

• Avaliação somativa: Prova presencial ao final do período letivo para verificar o alcance dos objetivos de aprendizagem.

Docente Responsável

• Prof. Dr. Claudio Possani – Matemática, USP