정규모집단에서의 추론 (표본의 크기가 작을 때)

통계적 유의성과 가설검정

통계적 가설검정은 귀무가설(H0)을 기각할 수 있는지 평가하는 과정입니다. 통계적으로 유의하다는 것은, 검정 결과가 우연에 의한 것이 아니라 실제로 의미 있는 차이나 효과가 있음을 의미합니다. P값이 유의수준(α)보다 작으면 귀무가설을 기각하고 연구가설(H1)을 채택합니다.

• 귀무가설(H0): 기존 상태나 효과가 없음을 주장

• 연구가설(H1): 새로운 효과나 차이가 있음을 주장

• P값 < α: 귀무가설 기각, 연구가설 채택

t-분포

t-분포의 기원

t-분포는 작은 표본에서 모평균에 대한 추론에 사용되는 확률분포입니다. 이 분포는 "Student's t"라는 이름으로 알려져 있으며, William Gosset가 개발하였습니다. 그는 Guinness 맥주 회사에서 실험적 양조사로 일하며 t-분포를 개발하였습니다.

t-분포의 정의와 공식

모집단이 정규분포를 따르고 표본의 크기가 작을 때, 모평균과 모표준편차에 대한 추정과 가설검정에 t-분포가 사용됩니다. 모분산을 모를 경우 표본표준편차 S를 사용하여 다음과 같이 t-분포를 정의합니다:

• 모집단이 정규분포 를 따를 때

• 표본평균 , 표본표준편차

• t-분포 공식:

표본의 크기가 클 때는 표준정규분포를 따르지만, 표본의 크기가 작을 때는 t-분포를 따릅니다.

t-분포의 특징

• 표준정규분포와 유사하며 평균이 0이고 좌우 대칭의 종모양

• 자유도(df)에 따라 분포의 모양이 달라짐

• df < 30일 때 꼬리가 두껍고 분산이 1보다 큼

• df가 커질수록 표준정규분포(Z분포)에 가까워짐

• df가 커지면 분산은 1에 수렴

자유도(degree of freedom)

자유도는 표본의 개수에서 제약 조건의 수를 뺀 값으로, t-분포에서는 (n-1)입니다. 자유도는 표본의 평균을 계산할 때 마지막 하나의 값이 결정되는 원리를 반영합니다.

• 자유도(df)는 표본의 개수에서 1을 뺀 값: df = n - 1

• 예시: 표본이 4, 5, 6이고 평균이 5라면, 마지막 값은 4가 되어야 평균이 맞음

t-분포의 형태와 공식

• 모분산을 모를 때:

• 모분산을 알 때:

t-분포의 백분위수와 임계값

t-분포의 임계값은 자유도와 오차율(α)에 따라 결정됩니다. t-분포는 0에 대해 대칭이므로 가 성립합니다.

• 상위 α의 확률을 주는 값:

• 예시:

모평균에 대한 추론

점추정과 구간추정

모평균에 대한 점추정은 표본평균()을 사용합니다. 구간추정은 신뢰구간을 계산하여 모평균이 포함될 가능성이 있는 범위를 제시합니다.

• 점추정량:

• 표준오차:

• 신뢰구간 공식 (모분산 미지):

• 신뢰구간 공식 (모분산 알려진 경우):

신뢰구간 예제

예시: 합금의 평균장력(𝜇)에 대한 90% 신뢰구간 계산

• 자료: n = 15, x = 39.3, s = 2.6

• 신뢰구간:

• 결과: (38.12, 40.48)

모평균에 대한 가설검정: t-검정

가설검정의 절차

모평균에 대한 t-검정은 표본의 크기가 작고 모분산을 모를 때 사용합니다. 검정통계량은 다음과 같이 계산합니다:

• 가설 설정: vs. , ,

• 검정통계량:

• 임계값: 또는

t-검정 예제

예시: 호수의 단위부피당 평균 세균수(𝜇)가 200보다 적은지 검정

• 자료: n = 10, x = 194.8, s = 13.14

• 가설: vs.

• 임계치:

• 검정통계량:

• 결론: → 귀무가설 기각할 수 없음

p-값과 가설검정

p-값은 검정통계량이 관측된 값보다 극단적인 값을 가질 확률입니다. p-값이 유의수준보다 작으면 귀무가설을 기각합니다.

• 검정통계량:

• p-값 계산: 단측검정 , 양측검정

신뢰구간과 양측검정의 관계

신뢰구간에 귀무가설의 값이 포함되면, 해당 유의수준에서 귀무가설을 기각하지 못합니다.

• 예시: n = 9, x = 8.3, s = 1.2, 95% 신뢰구간 (7.38, 9.22)

• 귀무가설 값(8.5)이 신뢰구간에 포함 → 기각하지 못함

고전적 방법과 p-값을 활용한 가설검정 예제

과일 통조림의 무게가 표준용량을 준수하는지 검정하는 예제

• 자료: n = 100, 표본평균 = 395g, 표준편차 = 50g

• 가설: vs.

• 검정통계량:

• 임계치:

• 결론: 귀무가설 채택

p-값을 활용한 예제: n = 30, 표본평균 = 390g, 표준편차 = 50g, 검정통계량 = -1.10, p-값 = 0.1357 → 귀무가설 채택

요약

• 작은 표본에서 모평균 추론은 t-분포를 사용

• 신뢰구간과 가설검정은 표본평균, 표본표준편차, 자유도에 기반

• p-값과 임계값을 비교하여 귀무가설의 기각 여부 결정